Claudio Cangialosi entra nella Scuola di Ballo del Teatro alla Scala di Milano a 15 anni, dove si diploma nel 2006.
In seguito entra a far parte del Semperoper Ballett di Dresda, dove ha modo di interpretare ruoli principali in coreografie di William Forsythe, Jiri Kylian, Mats Ek, Ohad Naharin, David Dawson, George Balanchine, Pascal Touzeau, Jiri Bubenicek, Alexey Ratmansky, Aaron S. Watkin, Jacopo Godani e ruoli solistici in coreografie di Johann Inger, Styn Celis, Alexander Ekman, Pontus Lidberg.
Nel 2009 riceve la nomina di Outstanding Performance by a Male Dancer (Critics’ Choice) per The World According To Us, coreografia di D. Dawson.
Nel 2012 vince il premio italiano Apuliarte come artista emergente dell’anno, il premio SIAE come coreografo emergente per la sua creazione With(in) e, nel 2013, il premio Danza & Danza come artista emergente, cosi come il premio Giuliana Penzi.
Nel 2016 entra a far parte del Balletto delle Fiandre di Anversa, dove attualmente è primo solista. Collabora e interpreta ruoli principali e solistici in coreografie di Sidi Larbi Cherkaoui, Jean Christophe Maillot, Edouard Lock, Andonis Foniadakis e Hofesh Shechter. Recentemente debutta come Albrecht in Giselle di Akram Khan.
Durante il corso degli anni prende parte a vari creazioni con il Dresden Semperoper Ballet, quali The World According To Us, Giselle (di D. Dawson); The Sleeping Beauty, Swan Lake, Bayadere (di A. S. Watkin, dopo M. Petipa e L. Ivanov); No Thumb (di Pascal Touzeau); Spazio-Tempo, Sacre (di J. Godani); Romeo and Juliet, Josephs Legende (di S. Celis); Faun (di Jiri Bubeníček); Tanzsuite (di Alexei Ratmansky); Im anderen Raum (di Pontus Lidberg) e COW (di A. Ekman).
Da quando è danzatore per il Balletto delle Fiandre prende parte a creazioni come The Heart of August, The Heart of August continued (di Edouard Lock); Requiem (di Sidi Larbi Cherkaoui) e Sheherazade (di Jonah Bokaer).
Durante la sua carriera Claudio Cangialosi danza anche diverse coreografie di Kenneth MacMillian, Mikail Fokine, August Bournonville, Maurice Béjart, Rudolf Nureyev, Marius Petipa, Matthew Bourne, Amedeo Amodio, Frederic Olivieri, John Cranko e John Neumeier.